Нужны примеры для практики?
Когда отношение и основное свойство пропорции понятны, закрепите тему короткой серией однотипных задач. Скачайте задания на пропорции и ответы для проверки.
Что такое отношение чисел и величин
Спросите себя: во сколько раз одно число отличается от другого? Именно на этот вопрос отвечает отношение — число, которое получают делением: 12 : 4 = 3 (12 больше 4 в три раза).
12 : 4 = 3
карандашей в три раза больше, чем фломастеров
Пусть в наборе для рисования 12 карандашей и 4 фломастера. Разделим количество карандашей на количество фломастеров: 12 : 4 = 3. Карандашей в три раза больше. А если сравнить в обратную сторону — получится 4 : 12, то есть одна треть. Одни и те же числа, но смысл сравнения другой.
В общем виде отношение записывают как a : b: слева то, что сравнивают, справа — то, с чем сравнивают. В примере выше a — это 12, b — это 4.
Первый член
Число a в записи a : b — то, что стоит первым и задаёт вопрос сравнения.
Второй член
Число b в записи a : b — то, с чем сравнивают.
От порядка членов зависит результат: 12 : 4 и 4 : 12 — два разных числа.
«Смотри, что стоит первым в записи — от этого зависит ответ. 12 к 4 и 4 к 12 отвечают на разные вопросы, хотя цифры те же самые».
Составлять отношение можно и для величин: скажем, 15 см к 3 см или 2 кг к 400 г. Единственное условие — сначала перевести обе величины в одну и ту же единицу измерения, иначе деление не будет иметь смысла.
Ещё одна особенность отношения: его значение не меняется, если оба числа умножить или разделить на одно и то же (ненулевое) число. Возьмём 24 : 16 — сократим на 8 и получим 3 : 2. Смысл сравнения остался тем же, просто числа стали проще. Эта идея дальше пригодится при работе с пропорциями.
Что такое пропорция и её основное свойство
Иногда два разных на первый взгляд отношения на самом деле дают одинаковый результат. Тогда их можно связать знаком равенства — так получается пропорция. Например: 9 : 6 = 15 : 10 — обе части дают при делении 1,5, значит равенство верное.
Пропорцию в общем виде записывают как a : b = c : d. В примере 9 : 6 = 15 : 10 это a = 9, b = 6, c = 15, d = 10.
Крайние члены
Числа a и d в записи a : b = c : d — стоят по краям всей пропорции.
Средние члены
Числа b и c — находятся посередине записи.
У чисел a, b, c, d есть свои роли: a и d стоят по краям всей записи, поэтому их зовут крайними членами; b и c находятся посередине — это средние члены.
«В записи 9 : 6 = 15 : 10 первое и последнее число — 9 и 10 — крайние, они по краям. Два числа в середине — 6 и 15 — средние. Подчеркни их разными карандашами».
Ключевое правило темы — основное свойство пропорции: у верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних (a · d = b · c).
a · d = b · c
произведение крайних равно произведению средних
Проверим на примере 9 : 6 = 15 : 10: крайние 9 и 10 дают 9 · 10 = 90, средние 6 и 15 дают 6 · 15 = 90 — совпало, значит пропорция верна.
Особенно удобно это правило, когда одно из чисел неизвестно. Пусть дана запись x : 6 = 9 : 18. По основному свойству: 18x = 6 · 9, 18x = 54, откуда x = 3.
Как быстро проверить пропорцию
Разберём запись 7 : 3 = 21 : 9 по шагам:
Смотрим, действительно ли перед нами равенство двух отношений.
Отмечаем крайние члены — 7 и 9.
Отмечаем средние члены — 3 и 21.
Считаем произведение крайних: 7 · 9 = 63.
Считаем произведение средних: 3 · 21 = 63. Числа сошлись — пропорция верна.
Иногда достаточно взглянуть на числа без умножения: в 4 : 9 = 12 : 27 видно, что 12 — это 4, умноженное на 3, а 27 — это 9, умноженное на те же три. Одинаковый коэффициент — значит, отношения равны.
Где встречаются отношения и пропорции: масштаб, деление величины, уравнения
Отношения и свойства пропорции появляются в задачах 6 класса.
Возьмём масштаб карты: он тоже устроен как отношение. Если написано 1 : 100 000, значит одному сантиметру на бумаге соответствует 100 000 сантиметров (один километр) на реальной территории. Подробный разбор с тремя типами задач — в статье «Как объяснить ребёнку масштаб», а потренироваться можно на примерах на масштаб.
По этому же принципу распределяют величину на части в заданном отношении. Допустим, 40 значков нужно разложить в два подарочных набора в отношении 3 : 5 (три к пяти). Складываем части: 3 + 5 = 8, тогда одна часть равна 40 : 8 = 5. В первом наборе окажется 3 · 5 = 15 значков, во втором — 5 · 5 = 25.
Похожая логика работает и там, где неизвестный член пропорции ищут через уравнение. Например: 5 : 9 = x : 27. По основному свойству: 9x = 5 · 27, 9x = 135, x = 15.
Масштаб, деление величины и уравнения на основе пропорции — большие самостоятельные темы, которые стоит разбирать отдельно; здесь главное увидеть, что все они опираются на одно и то же понятие отношения.
Прямая и обратная пропорциональность
Прямая и обратная пропорциональность — описывают, как связаны изменения двух величин между собой.
Прямая пропорциональность
растёт → растёт
Обе величины меняются в одну сторону и в одинаковое число раз. Пример: альбом стоит 6 рублей — два альбома 12, пять альбомов 30.
Обратная пропорциональность
растёт → падает
Одна величина растёт, другая во столько же раз уменьшается. Пример: чем больше людей делает ту же работу, тем меньше уходит времени.
«Берёшь больше альбомов — платишь больше, причём во столько же раз больше. Это и называют прямой пропорциональностью».
При прямой пропорциональности обе величины растут или уменьшаются в одну сторону и в одинаковое число раз. Другой пример: на 2 кг яблок уходит 10 минут, на 6 кг — 30 минут. Масса выросла в три раза, и время выросло ровно так же.
При обратной пропорциональности всё происходит в противоположные стороны: одна величина растёт, а другая во столько же раз уменьшается. Например, чем выше скорость, тем меньше часов займёт одна и та же дорога.
Не путайте пропорцию и пропорциональность: пропорция — это конкретная запись, равенство двух отношений, а пропорциональность — общее описание того, как две величины зависят друг от друга.
| Понятие | Что это | Пример |
|---|---|---|
| Отношение | Результат деления одного числа на другое | 12 : 4 = 3 |
| Пропорция | Равенство двух отношений | 9 : 6 = 15 : 10 |
| Пропорциональность | Как две величины меняются вместе | больше альбомов → больше сумма |
Типичные ошибки
В этой теме сложности редко связаны со сложной арифметикой — чаще подводит невнимательность к самой записи.
Порядок чисел не важен
Кажется, что порядок чисел в отношении не имеет значения.
12 : 4 ≠ 4 : 12
12 : 4 и 4 : 12 — разные числа с разным смыслом. Проговаривайте вслух: «двенадцать к четырём».
Крайние и средние наугад
Крайние и средние члены называют наугад, не глядя на запись.
9 : 6 = 15 : 10
В 9 : 6 = 15 : 10 крайние — 9 и 10, средние — 6 и 15. Сначала находим их взглядом, только потом считаем.
6 : 9 = 15 : 10
Числа в пропорции переставляют произвольно.
6 : 9 = 10 : 15
Из 9 : 6 = 15 : 10 нельзя просто менять местами первые два числа: 6 : 9 = 15 : 10 неверно (6 · 10 = 60, а 9 · 15 = 135). Работает переворот сразу обеих частей: 6 : 9 = 10 : 15 (6 · 15 = 90 = 9 · 10).
2 кг : 400 г
Величины делят без перевода в одинаковые единицы.
2000 : 400 = 5
15 см к 3 см считать напрямую можно, а вот 2 кг к 400 г — нельзя, пока не перевести килограммы в граммы: 2000 : 400 = 5.
«Крест-накрест» без смысла
«Крест-накрест» применяют как заклинание, не понимая, что умножается.
Сначала крайние и средние
Сначала находим крайние и средние члены, и только потом умножаем и сравниваем результаты.
«Крест-накрест — это не волшебное слово, а действие после того, как ты нашёл, где в записи крайние числа, а где средние».
Памятка по теме
Перед контрольной достаточно держать в голове одну цепочку рассуждений, а не список определений. Всё начинается с отношения — числа, которое получается делением и показывает, во сколько раз одна величина отличается от другой. Когда находится второе отношение с тем же результатом, два отношения связывают знаком равенства — так рождается пропорция, а её крайние члены стоят по краям записи, средние — в середине. Всё это держится на одной формуле: произведение крайних равно произведению средних, — и именно она позволяет за пару шагов проверить любую запись или найти в ней спрятанное число.
Нужны примеры для практики?
Когда отношение и основное свойство пропорции понятны, закрепите тему короткой серией однотипных задач. Скачайте задания на пропорции и ответы для проверки.