Что такое НОК простыми словами
НОК — это самое маленькое число, которое само делится на все данные числа без остатка. Иначе говоря, это самое маленькое общее кратное.
Кратное
Число, которое само делится на другое без остатка. 12 — кратное 4, потому что 12 : 4 = 3.
Общее кратное
Число, которое делится на каждое из данных чисел. 12 делится и на 4, и на 6, значит, это их общее кратное.
Представьте две гирлянды. Одна мигает каждые 4 секунды, другая — каждые 6 секунд. Если они вспыхнули вместе сейчас, когда вспыхнут вместе снова?
Первая гирлянда мигает на 4-й, 8-й, 12-й, 16-й секунде. Вторая — на 6-й, 12-й, 18-й. Первое общее число после старта — 12.
Число 24 тоже общее кратное: обе гирлянды мигнут и на 24-й секунде. Но НОК — не любое совпадение, а самое раннее.
НОК(4, 6) = 12
следующая совместная вспышка
НОК — это самое маленькое число, которое делится и на первое, и на второе число без остатка.
Важно не путать кратное и делитель. Кратное больше или равно исходному числу: 12 — кратное 4, потому что 12 делится на 4. Делитель, наоборот, делит число: 4 — делитель 12. НОК всегда ищут среди кратных, а не среди делителей.
Где НОК нужен в школьной математике
В школе НОК чаще всего используют, чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю. Тогда сложение и вычитание получается короче: не приходится сокращать слишком большую дробь в конце.
Например, нужно сложить дроби 1 4 и 1 6 . Наименьший общий знаменатель — это НОК чисел 4 и 6, то есть 12:
Знаменатель 24 тоже подошел бы, потому что 4 · 6 = 24. Но тогда дробь в конце пришлось бы сокращать. Наименьший общий знаменатель короче: это и есть НОК. Такие задания можно взять в примерах на сложение и вычитание дробей.
НОК также помогает в задачах, где нужно:
- Общий знаменатель Сложить или вычесть дроби с разными знаменателями.
- Расписание Узнать, когда два события с разным периодом случатся вместе.
- Циклы Найти первое совпадение двух повторений после общего старта.
- Наименьшее подходящее число Найти первое число, которое делится на каждое из данных.
Когда нужно узнать, когда два повторения встретятся снова, часто нужно найти НОК.
Как найти НОК через простые множители
НОК небольших чисел удобно находить через разложение на простые множители. Нужно взять все встретившиеся множители и выбрать наибольшую степень каждого.
Разберем числа 4 и 6. Сначала раскладываем их на простые множители:
4 = 2 · 2 = 22
6 = 2 · 3
Теперь собираем множители, которые есть хотя бы в одном разложении.
- Множитель 2 Есть и в 4, и в 6. У 4 он встречается два раза, у 6 — один. Берем два раза, то есть 22.
- Множитель 3 Есть только у числа 6. Для НОК его тоже берем: иначе ответ не разделится на 6.
НОК(4, 6) = 22 · 3 = 4 · 3 = 12
все встретившиеся множители, в большей степени
Проверка:
12 : 4 = 3
12 : 6 = 2
ответ делится на оба числа без остатка
Для НОК собираем все, что встретилось хотя бы один раз, и берем этого побольше.
Как найти НОК трех чисел
Правило то же: берем все простые множители, которые есть хотя бы у одного числа, и выбираем наибольшую степень каждого.
4 = 22
6 = 2 · 3
8 = 23
Множитель 2 есть у всех трех чисел, но чаще всего — у 8, три раза. Берем 23. Множитель 3 есть только у 6, его тоже берем.
НОК(4, 6, 8) = 23 · 3 = 8 · 3 = 24
Проверим:
24 : 4 = 6
24 : 6 = 4
24 : 8 = 3
24 делится на все три числа без остатка
Потренировать разложение и проверку
После примера с 4 и 6 полезно разобрать еще несколько пар: разложить на множители, взять все в большей степени и проверить делением. Лист и файл с ответами можно скачать сразу.
Как быстро найти НОК без полного перебора
Разложение удобно, когда числа небольшие. Если ребенок еще не уверенно раскладывает на множители, можно выписать кратные и остановиться на первом совпадении. А когда НОД уже найден, НОК двух чисел можно получить по формуле.
Выписать кратные и остановиться на первом совпадении
Найдем НОК чисел 4 и 6, не раскладывая их на множители.
Начинаем с самого числа: 4, 8, 12, 16, 20, 24…
Тоже с самого числа: 6, 12, 18, 24…
Общие кратные здесь — 12 и 24. Дальше список можно не продолжать.
Из общих кратных выбираем 12. Это и есть НОК.
Если большее число уже делится на меньшее, НОК равен большему. Например, 12 : 4 = 3, поэтому НОК(4, 12) = 12. Следующее кратное искать не нужно.
Формула через НОД
Для двух натуральных чисел есть короткая формула. Почему она работает: в произведении общий множитель считается дважды. Деление на НОД убирает лишнюю копию.
НОК(a, b) = (a · b) / НОД(a, b)
только для двух чисел
Для 4 и 6 сначала находим НОД. Он равен 2, потому что 2 — наибольшее число, на которое делятся оба:
НОД(4, 6) = 2
НОК(4, 6) = (4 · 6) / 2 = 24 / 2 = 12
Если просто перемножить 4 и 6, получится 24: общий множитель 2 посчитан дважды. Деление на НОД возвращает наименьшее общее кратное.
Сначала увидь НОК как первое совпадение кратных. Формулу подключай, когда уже умеешь находить НОД.
Как находить НОД разложением и алгоритмом Евклида, разобрано в статье о наибольшем общем делителе.
Формула «произведение разделить на НОД» работает для двух чисел. Для трех чисел удобнее разложение: взять все множители в максимальной степени.
Типичные ошибки при поиске НОК
Главная ошибка — перемножить числа и назвать произведение ответом. Для 4 и 6 так получается 24, хотя наименьшее общее кратное равно 12.
Для 4 и 6 получает 24 и останавливается.
Произведение равно НОК только у взаимно простых чисел. Здесь ответ 12, а не 24.
Из 4 = 22 и 6 = 2 · 3 оставляет только 2 и теряет тройку.
Для НОК нужны все множители, которые встретились хотя бы в одном разложении.
Путает правило с НОД и из 22 и 21 берет один множитель 2.
Для НОК берем наибольшую степень. Если 22 и 21, в НОК попадет 22.
Видит, что 24 делится на 4 и на 6, и считает это ответом.
24 — общее кратное, но не наименьшее. НОК — самое маленькое из общих кратных.
Деление без остатка еще не значит, что найден именно НОК.
Ответ должен делиться на каждое исходное число, и меньше него общего кратного быть не должно.
Частая ошибка на числах 4 и 6: ребенок перемножает их, получает 24 и называет это НОК. 24 действительно делится на оба числа, но есть меньшее общее кратное — 12.
4 · 6 = 24
Просто перемножили числа. 24 делится на 4 и на 6, но есть меньшее общее кратное.
22 · 3 = 12
Берем каждый множитель столько раз, сколько он встречается чаще всего. 12 меньше 24 и тоже делится на оба числа.
Памятка по теме
Две инфографики можно распечатать или скачать. Алгоритм для родителя показывает пять шагов на гирляндах: от первого совпадения вспышек к разложению и проверке. Шпаргалка для ребенка держит рядом правило «самое маленькое общее кратное» и ловушку с числом 24.
Где потренироваться находить НОК
После объяснения полезно перейти к практике: сначала находить НОК небольших чисел через кратные или разложение, затем проверять себя делением и только потом брать более крупные числа.
Перед разложением на множители можно быстро вспомнить признаки делимости. Для самих вычислений удобно взять примеры на наименьшее общее кратное: в каждом наборе новые пары чисел. Если отметить «С ответами», рядом будет файл для проверки после того, как ребенок решил примеры сам.
Когда правило уже получается, следующий шаг — общий знаменатель. Это удобно сделать в примерах на сложение и вычитание дробей: там НОК уже применяют к знаменателям.
Если ребенок путает, когда в задаче нужен НОК, а когда НОД, пригодится сравнительная статья о НОД и НОК. Сам наибольший общий делитель, включая алгоритм Евклида, разобран в статье о наибольшем общем делителе.
Закрепить НОК на примерах
Когда правило «самое маленькое число, которое делится на оба» уже понятно, полезно найти НОК еще на нескольких парах и проверить делением. Генератор подготовит лист и отдельный файл с ответами.