Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
Если знаменатель у двух дробей один и тот же, при сложении и вычитании складывают или вычитают только числители, а знаменатель переносят в ответ без изменений: ab + cb = a + cb и ab − cb = a − cb.
Знаменатель показывает, на сколько равных частей разделено целое, а числитель — сколько таких частей взято. При сложении и вычитании размер частей не меняется, меняется только их количество.
Пример сложения:
311 + 511 = 811
Пример вычитания:
913 − 413 = 513
Как сказать ребёнку: «Если знаменатель у обоих дробей одинаковый, значит целое разделено на одинаковые части (кусочки). Считай только числители — знаменатель просто переписывается».
Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
Если знаменатели разные, доли в дробях имеют разный размер, поэтому числители нельзя складывать сразу — сначала обе дроби приводят к одинаковым долям, к общему знаменателю.
Алгоритм:
Сложение:
Дробь 13 превратилась в 412, а 14 — в 312, потому что числитель и знаменатель каждой дроби умножили на одно и то же число.
Вычитание:
Как сказать ребёнку: «Сначала сделай у дробей одинаковые знаменатели. После этого можно складывать или вычитать числители».
Если ребёнку трудно именно найти общий знаменатель, лучше вернуться к этому шагу отдельно, прежде чем тренироваться на сложении и вычитании.
Как сложить и вычесть дробь и целое число
Если дробная часть правильная (числитель меньше знаменателя), сложение с целым числом не требует никаких вычислений — целое число и дробь просто записывают рядом, и получается смешанное число:
3 + 25 = 325
Так устроена запись смешанного числа - из целой части и дробной (в виде обыкновенной дроби).
Для вычитания дроби из целого числа нужен другой приём — занять единицу. Одну единицу из целого числа превращают в дробь с тем же знаменателем, что у вычитаемой дроби, а остальные единицы оставляют как целую часть:
4 − 13 = 333 − 13 = 323
Как сказать ребёнку: «Если складываешь целое число с дробью, у которой числитель меньше знаменателя, — просто пиши их вместе, это и есть смешанное число. А если из целого числа нужно вычесть дробь, займи одну единицу и представь её дробью с тем же знаменателем — тогда числители можно вычитать».
Если в примере дробь больше целого
В примерах на сложение и вычитание можно встретить дроби, значение которых больше единицы:
75, 94, 127
Такие дроби называют неправильными дробями. Из них можно выделить целую часть и получить смешанное число:
75 = 125
Неправильная дробь может уже быть дана в примере или получиться после сложения:
35 + 45 = 75 = 125
Иногда результатом сложения становится не неправильная дробь, а целое число:
27 + 57 = 77 = 1
Поэтому при работе с дробями важно смотреть не только на само действие, но и на то, какой вид имеет получившееся в результате число.
Сложение и вычитание смешанных чисел
Смешанные числа складывают и вычитают, обрабатывая целую и дробную часть отдельно: сначала целые части с целыми, потом дробные с дробными (если знаменатели разные — сначала приводят к общему).
Сложение без переноса — целые и дробные части просто складываются друг с другом:
Сложение с переносом — если дробные части в сумме дают неправильную дробь, из неё выделяют целую часть и добавляют её к уже посчитанным целым:
Вычитание с заёмом — если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, единицу занимают у целой части и превращают в дробь с тем же знаменателем:
Как сказать ребёнку: «Складывай и вычитай отдельно целые части и отдельно дробные. Если дробная часть получилась неправильной — выдели из неё целое и прибавь к уже посчитанной целой части. Если при вычитании дробная часть уменьшаемого меньше — займи единицу у целой части, преврати её в дробь с тем же знаменателем и только потом вычитай».
Здесь мы разобрали основные случаи. Подробно неправильные и смешанные дроби разберём в отдельных материалах.
Типичные ошибки при сложении и вычитании дробей
Складывает или вычитает знаменатели
14 + 14 = 28
Ребёнок считает, что при сложении дробей нужно сложить и числители, и знаменатели.
Напомните, что знаменатель показывает размер доли. Если складываем четверти, они остаются четвертями — меняется только их количество.
Можно подсказать вопросом: «Какую долю показывает знаменатель? Изменился ли размер этой доли?»
Складывает дроби с разными знаменателями сразу
13 + 14 = 27
Ребёнок сразу складывает числители и знаменатели.
Напомните: сначала доли нужно сделать одинакового размера. Попросите посмотреть на знаменатели и спросите: «Можно ли складывать треть и четверть как одинаковые доли?»
Если ребёнок уже умеет приводить дроби к общему знаменателю, достаточно напомнить порядок: общий знаменатель → дополнительные множители → сложение числителей.
После сложения не сокращает дробь
26
Ребёнок получает, например, 26 и останавливается, хотя дробь можно сократить до 13.
Напомните проверить полученную дробь после вычисления: «Можно ли разделить числитель и знаменатель на одно и то же число?»
Если ребёнок пока не замечает сокращаемые дроби, полезно отдельно потренировать сокращение.
Не выделяет целую часть из неправильной дроби
1912
Ребёнок получает ответ 1912, но записывает его как окончательный.
1912 = 1712
Напомните посмотреть на числитель и знаменатель после вычисления: «Что можно сделать, если числитель больше знаменателя?»
Попросите разделить числитель на знаменатель. В примере 19:12 = 1 и остаток 7, поэтому:
Не занимает единицу при вычитании смешанных чисел
413 − 123
При вычитании ребёнок вычитает дробные части «как есть» и либо получает отрицательную дробь, либо просто меняет местами числители, чтобы не выходило отрицательное число.
413 = 343
Спросите: «Дробная часть у вычитаемого больше, чем у уменьшаемого? Тогда сначала займи единицу у целой части».
Покажите, что 413 можно записать как 343, а дальше вычитать целые и дробные части отдельно, как обычно.
Памятки по теме
Если нужно быстро вспомнить тему или объяснить её ребёнку, не обязательно перечитывать весь материал. Мы собрали две короткие памятки: для родителя — с готовым алгоритмом объяснения, и для ребёнка — с основными правилами и подсказками.
Откройте памятку на экране или скачайте их для печати.
Закрепить тему на заданиях
Когда правило понятно, дайте короткую серию примеров на сложение и вычитание дробей. Скачайте задания и отдельный файл с ответами для проверки или попробуйте онлайн-тренажёр.